حساب المثلثات الأمثلة

\csc^{2} (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

خطوة 1

أضف

2

$2$ إلى كلا المتعادلين.

\csc^{2} (x) = 2

$\csc^{2} (x) = 2$

خطوة 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\csc (x) = \pm \sqrt{2}

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

خطوة 3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ

\pm

$\pm$ لإيجاد الحل الأول.

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

خطوة 3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ

\pm

$\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

خطوة 3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 4

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة

x

$x$ .

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

خطوة 5

أوجِد قيمة

x

$x$ في

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل قاطع التمام.

x = arccsc (\sqrt{2})

$x = arccsc (\sqrt{2})$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

القيمة الدقيقة لـ

arccsc (\sqrt{2})

$arccsc (\sqrt{2})$ هي

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 5.3

دالة قاطع التمام موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

π

$π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

خطوة 5.4

بسّط

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

لكتابة

π

$π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اجمع

π

$π$ و

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 5.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل

4

$4$ إلى يسار

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 5.4.3.2

اطرح

π

$π$ من

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 5.5

أوجِد فترة

\csc (x)

$\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.5.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.5.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 5.6

فترة دالة

\csc (x)

$\csc (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 6

أوجِد قيمة

x

$x$ في

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل قاطع التمام.

x = arccsc (- \sqrt{2})

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

القيمة الدقيقة لـ

arccsc (- \sqrt{2})

$arccsc (- \sqrt{2})$ هي

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ .

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{4} + π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

خطوة 6.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اطرح

2 π

$2 π$ من

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

خطوة 6.4.2

الزاوية الناتجة لـ

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ موجبة وأصغر من

2 π

$2 π$ ومشتركة النهاية مع

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 6.5

أوجِد فترة

\csc (x)

$\csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.5.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.5.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 6.6

اجمع

2 π

$2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اجمع

2 π

$2 π$ مع

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

- \frac{π}{4} + 2 π

$- \frac{π}{4} + 2 π$

خطوة 6.6.2

لكتابة

2 π

$2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 6.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

اجمع

2 π

$2 π$ و

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 6.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 6.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.4.1

اضرب

4

$4$ في

2

$2$ .

\frac{8 π - π}{4}

$\frac{8 π - π}{4}$

خطوة 6.6.4.2

اطرح

π

$π$ من

8 π

$8 π$ .

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

خطوة 6.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 6.7

فترة دالة

\csc (x)

$\csc (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 7

اسرِد جميع الحلول.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$