حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $7 (\cos (- x) - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $\cos (- x)$ دالة زوجية، أعِد كتابة $\cos (- x)$ في صورة $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

خطوة 1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

خطوة 1.1.3

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

خطوة 2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $7 \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

خطوة 2.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

خطوة 3

استبدِل $\sin^{2} (x)$ بـ $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $1$ و $7$ .

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

خطوة 4.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.2.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ ومجموعهما $b = - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $- 7$ من $- 7 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة $- 7$ في صورة $1$ زائد $- 8$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 4.2.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

خطوة 4.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.4

عيّن قيمة العبارة $- \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عيّن قيمة $- \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 4.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \cos (x) = - 1$

خطوة 4.4.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.4.2.2.2.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

خطوة 4.4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 4.4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.4.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 4.4.2.6

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 4.4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عيّن قيمة $\cos (x) + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + 8 = 0$

خطوة 4.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 8$

خطوة 4.5.2.2

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 8$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 4.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

وحّد الإجابات.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$