حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

خطوة 1

استبدِل $\sin^{2} (x)$ بـ $1 - \cos^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

خطوة 2

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 5 (\cos (x) + 1)$

خطوة 3

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 5 ((u) + 1)$

خطوة 4

بسّط $5 (u + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد الكتابة.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 5 (u + 1)$

خطوة 4.2

بسّط بجمع الأصفار.

$- u^{2} + 1 = 5 (u + 1)$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5 \cdot 1$

خطوة 4.4

اضرب $5$ في $1$ .

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5$

خطوة 5

اطرح $5 u$ من كلا المتعادلين.

$- u^{2} + 1 - 5 u = 5$

خطوة 6

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- u^{2} + 1 - 5 u - 5 = 0$

خطوة 7

اطرح $5$ من $1$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2} - 5 u - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 u$ .

$- u^{2} - (5 u) - 4 = 0$

خطوة 8.1.3

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$- u^{2} - (5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

خطوة 8.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2} - (5 u)$ .

$- (u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

خطوة 8.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2} + 5 u) - 1 (4)$ .

$- (u^{2} + 5 u + 4) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل $u^{2} + 5 u + 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $4$ ومجموعهما $5$ .

$1, 4$

خطوة 8.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((u + 1) (u + 4)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (u + 1) (u + 4) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 4 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 10.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $u + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $u + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 4 = 0$

خطوة 11.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$u = - 4$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (u + 1) (u + 4) = 0$ صحيحة.

$u = - 1, - 4$

خطوة 13

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1, - 4$

خطوة 14

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = - 4$

خطوة 15

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 15.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 15.4

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 15.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 15.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 15.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 15.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 4$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 17

اسرِد جميع الحلول.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$