حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

خطوة 1

احسِب قيمة $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

خطوة 2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (112.5)$ هي $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $112.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

خطوة 2.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة المماس.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.6

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.10

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.12

اضرب $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ في $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.13

اضرب $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ في $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.14

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.15

بسّط.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.16

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.17

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.17.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.17.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.18

اجمع $\sqrt{2}$ و $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.19.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.4.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5

احذِف العامل المشترك لـ $2 \sqrt{2} + 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.19.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.19.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.19.5.4.4

اقسِم $\sqrt{2} + 1$ على $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.20

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

خطوة 2.1.4.21

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

خطوة 2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

خطوة 2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

خطوة 2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ بالصيغة $3 + 2 \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ في صورة ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

خطوة 2.5.5

بسّط.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

خطوة 2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

خطوة 2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

خطوة 2.9

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

خطوة 3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

خطوة 4

اضرب $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ في $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

خطوة 5

اضرب $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ في $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

خطوة 6

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7

بسّط.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

خطوة 8

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 + 2 \sqrt{2}$ و $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $2$ من $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

خطوة 8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

خطوة 8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

خطوة 9

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 + 2 \sqrt{2}$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $2$ من $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

خطوة 9.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

خطوة 10

أعِد كتابة $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ بالصيغة $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ .

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

خطوة 11

اضرب $0.60355339$ في $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

خطوة 12

اضرب $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $0.5$ .

$- - 0.5$

خطوة 12.2

اضرب $- 1$ في $- 0.5$ .

$0.5$