حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 \arctan (x))$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x))$

خطوة 2

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, x)$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, x)$ . إذن، $\sin (\arctan (x))$ تساوي $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 3

اضرب $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \cos (\arctan (x))$

خطوة 4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.2

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.3

ارفع $\sqrt{1 + x^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ بالصيغة $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x^{2}}$ في صورة ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 4.6.5

بسّط.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 5

اجمع $2$ و $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x \sqrt{1 + x^{2}})}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

خطوة 6

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, x)$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (x)$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, x)$ . إذن، $\cos (\arctan (x))$ تساوي $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 7

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $\sqrt{1 + x^{2}}$ من $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$