حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيسر.

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = \sin (t)$ و $b = \cos (t)$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin^{2} (t) - \sin (t) \cos (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

خطوة 2.2.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وسّع $(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اضرب $\sin (t) (- \sin (t) \cos (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ارفع $\sin (t)$ إلى القوة $1$ .

$- ({\sin (t)}^{1} \sin (t)) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $\sin (t)$ إلى القوة $1$ .

$- ({\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1}) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {\sin (t)}^{1 + 1} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $\sin (t)$ في $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $\cos (t) (- \sin (t) \cos (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.3.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{1 + 1} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.1.2.4

اضرب $\cos (t)$ في $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

خطوة 3.2

أضف $- {\sin (t)}^{2} \cos (t)$ و ${\sin (t)}^{2} \cos (t)$ .

$\sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + 0$

خطوة 3.3

أضف $\sin (t)$ و $0$ .

$- \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \sin (t)$

خطوة 3.4

أضف $- \sin (t) {\cos (t)}^{2}$ و $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$0 + \cos (t) + \sin (t)$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\cos (t)$ .

$\cos (t) + \sin (t)$

خطوة 4

أعِد كتابة $\cos (t) + \sin (t)$ بالصيغة $\sin (t) + \cos (t)$ .

$\sin (t) + \cos (t)$

خطوة 5

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$ هي متطابقة