حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (\frac{11 π}{12})$

خطوة 1

أولاً، قسِّم الزاوية إلى زاويتين تكون فيهما قيم الدوال المثلثية الست معروفة. في هذه الحالة، يمكن تقسيم $\frac{11 π}{12}$ إلى $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

خطوة 2

استخدِم قاعدة الجمع لدالة المماس لتبسيط العبارة. تنص القاعدة على أن $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{2 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الثاني.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.3

اضرب $- - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.3.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

خطوة 4.5

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

خطوة 5

اضرب $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ في $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ في $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

خطوة 6.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 7.2

ارفع $1 - \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 7.3

ارفع $1 - \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

خطوة 7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

خطوة 8

أعِد كتابة ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ بالصيغة $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 9

وسّع $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 10

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 10.1.2

اضرب $- \sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 10.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 10.1.4

اضرب $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.1.4.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.1.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.1.4.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

خطوة 10.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

خطوة 10.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

خطوة 10.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

خطوة 10.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

خطوة 10.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

خطوة 10.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

خطوة 10.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

خطوة 10.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

خطوة 10.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 10.3

اطرح $\sqrt{3}$ من $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 11

احذِف العامل المشترك لـ $4 - 2 \sqrt{3}$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 11.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

خطوة 12

أعِد كتابة $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ بالصيغة $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

خطوة 13

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

خطوة 14

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

خطوة 15

اضرب $- - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

خطوة 15.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 2 + \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$- 0.26794919 \dots$