حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

خطوة 1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (22.5)$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $22.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

خطوة 1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

خطوة 1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

خطوة 1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

خطوة 1.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

خطوة 1.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

خطوة 1.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

خطوة 1.5.4

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

خطوة 1.5.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

خطوة 1.5.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

خطوة 1.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

خطوة 1.5.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

خطوة 2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

خطوة 3

أعِد كتابة ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ بالصيغة $2 + \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ في صورة ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

خطوة 3.5

بسّط.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

خطوة 4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

خطوة 5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 9

أعِد كتابة $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 9.3

أضف $0$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.70710678 \dots$