حساب المثلثات الأمثلة

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

خطوة 1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

خطوة 2

اضرب $8$ في $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

خطوة 3

اضرب $- 4 i (8 i)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $8$ في $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

خطوة 3.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

خطوة 3.3

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

خطوة 4.2

اضرب $- 32$ في $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

خطوة 5

أعِد ترتيب $32 \sqrt{3} i$ و $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

خطوة 6

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 7

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 8

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 32$ و $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

خطوة 9

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $32$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

خطوة 9.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

خطوة 9.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

خطوة 9.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

خطوة 9.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

خطوة 9.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $1024$ في $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

خطوة 9.3.2

ارفع $32$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

خطوة 9.3.3

أضف $3072$ و $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

خطوة 9.3.4

أعِد كتابة $4096$ بالصيغة $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

خطوة 9.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 64$

خطوة 10

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

خطوة 11

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

خطوة 12

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{3}$ و $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$