حساب المثلثات الأمثلة

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.6

اضرب $15$ في $1$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.8

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.9

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.10

اضرب $15 (4 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.10.2

اضرب $15$ في $- 4$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.11

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.12

اضرب $20$ في $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.13

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.14

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.15

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.16

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.17

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.18

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.19

اضرب $8$ في $- 20$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.20

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.21

اضرب $15$ في $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.22

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.23

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.24

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.24.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.24.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.24.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.25

اضرب $15 (16 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.25.1

اضرب $16$ في $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.25.2

اضرب $15$ في $16$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.26

اضرب $6$ في $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.27

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.28

ارفع $- 2$ إلى القوة $5$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.29

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.30

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.30.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.30.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.30.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.31

اضرب $i$ في $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.32

اضرب $- 32$ في $- 6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

خطوة 2.1.33

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

خطوة 2.1.34

ارفع $- 2$ إلى القوة $6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

خطوة 2.1.35

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

خطوة 2.1.36

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.36.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

خطوة 2.1.36.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

خطوة 2.1.36.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

خطوة 2.1.37

اضرب $i^{2}$ في $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

خطوة 2.1.38

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

خطوة 2.1.39

اضرب $64$ في $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $60$ من $1$ .

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $- 59$ و $240$ .

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $64$ من $181$ .

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

خطوة 2.2.3

اطرح $160 i$ من $12 i$ .

$117 - 148 i + 192 i$

خطوة 2.2.4

أضف $- 148 i$ و $192 i$ .

$117 + 44 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 117$ و $b = 44$ .

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $44$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $117$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

خطوة 6.3

أضف $1936$ و $13689$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $15625$ بالصيغة $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 125$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{44}{117}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $0.35970699$ .

$θ = 0.35970699$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = 0.35970699$ و $| z | = 125$ .

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$