حساب المثلثات الأمثلة

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y - 36 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $36$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $9 x^{2} - 36 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 18}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 36$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $1296$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $36$ .

$e = 0 - 36$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $36$ من $0$ .

$e = - 36$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

خطوة 1.3

استبدِل $9 x^{2} - 36 x$ بـ $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ في المعادلة $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} - 24 y = 36$

خطوة 1.4

انقُل $- 36$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $36$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 36 + 36$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- 4 y^{2} - 24 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

خطوة 1.5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 24$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $576$ على $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 36$ .

$e = 0 + 36$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $36$ .

$e = 36$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

خطوة 1.6

استبدِل $- 4 y^{2} - 24 y$ بـ $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ في المعادلة $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} - 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

خطوة 1.7

انقُل $36$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $36$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

خطوة 1.8

بسّط $36 + 36 - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $36$ و $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

خطوة 1.8.2

اطرح $36$ من $72$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $36$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(2, - 3)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

خطوة 5.3.3

أضف $4$ و $9$ .

$\sqrt{13}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4, - 3)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 3)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(4, - 3), (0, - 3)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(2 + \sqrt{13}, - 3)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(2 - \sqrt{13}, - 3)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(2 + \sqrt{13}, - 3), (2 - \sqrt{13}, - 3)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

خطوة 8.3.3

أضف $4$ و $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{9}{\sqrt{13}}$ في $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{9}{\sqrt{13}}$ في $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{13}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{13}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{13}}^{2}$ بالصيغة $13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{13}$ في صورة $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

خطوة 9.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 3$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) - 3$

خطوة 11.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - 3$

خطوة 11.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 - 3$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 3 - 3$

خطوة 11.2.2

اطرح $3$ من $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 6$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) - 3$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 - 3$

خطوة 12.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 - 3$

خطوة 12.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) - 3$

خطوة 12.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) - 3$

خطوة 12.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 - 3$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 - 3$

خطوة 12.2.1.6

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 - 3$

خطوة 12.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- \frac{3 x}{2} + 3 - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اطرح $3$ من $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 0$

خطوة 12.2.2.2

أضف $- \frac{3 x}{2}$ و $0$ .

$y = - \frac{3 x}{2}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{3 x}{2} - 6, y = - \frac{3 x}{2}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(2, - 3)$

الرؤوس: $(4, - 3), (0, - 3)$

البؤر: $(2 + \sqrt{13}, - 3), (2 - \sqrt{13}, - 3)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

المعلمة البؤرية: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

خطوط التقارب: $y = \frac{3 x}{2} - 6$ ، $y = - \frac{3 x}{2}$

خطوة 15