حساب المثلثات الأمثلة

$y = - 6 \sin (- 3 x + \frac{π}{2})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 6$

$b = - 3$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $6$

خطوة 3

أوجِد فترة $- 6 \sin (- 3 x + \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $- 3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

خطوة 3.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 3$ و $0$ تساوي $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{2}}{- 3}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

خطوة 4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

إزاحة الطور: $- \frac{π}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

خطوة 4.5

اضرب $- \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

إزاحة الطور: $1 (\frac{π}{2}) \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 4.5.2

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 4.5.3

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.5.4

اضرب $2$ في $3$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{6}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $6$

الفترة: $\frac{2 π}{3}$

إزاحة الطور: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{6} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{6}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 \frac{π}{2}$ بالصيغة $- \frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- π + π}{2})$

خطوة 6.1.2.2.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (\frac{0}{2})$

خطوة 6.1.2.2.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \cdot 0$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0$

خطوة 6.1.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{3} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- 1 π + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 π$ بالصيغة $- π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- π + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $- π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اجمع $- π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2 + π}{2})$

خطوة 6.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π + π}{2})$

خطوة 6.2.2.4.2

أضف $- 2 π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π}{2})$

خطوة 6.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.6

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.2.2.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 6.2.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.2.2.9

اضرب $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.9.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \cdot - 1$

خطوة 6.2.2.9.2

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 6$

خطوة 6.2.2.10

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع $- 3$ و $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π + π}{2})$

خطوة 6.3.2.2.2

أضف $- 3 π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{2})$

خطوة 6.3.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2})$

خطوة 6.3.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 (1)})$

خطوة 6.3.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 \cdot 1})$

خطوة 6.3.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- π}{1})$

خطوة 6.3.2.2.3.2.4

اقسِم $- π$ على $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- π)$

خطوة 6.3.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (0)$

خطوة 6.3.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \cdot 0$

خطوة 6.3.2.5

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

خطوة 6.3.2.6

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 3 \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{2 π}{3}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{2 π}{3}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 1 (2 π) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 2 π + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $- 2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اجمع $- 2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2 + π}{2})$

خطوة 6.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π + π}{2})$

خطوة 6.4.2.4.2

أضف $- 4 π$ و $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.6

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \cdot 1$

خطوة 6.4.2.8

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6$

خطوة 6.4.2.9

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 3 \frac{5 π}{6} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.5.2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.5.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

خطوة 6.5.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 1 \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.5.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 \frac{5 π}{2}$ بالصيغة $- \frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

خطوة 6.5.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 5 π + π}{2})$

خطوة 6.5.2.2.2

أضف $- 5 π$ و $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π}{2})$

خطوة 6.5.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2})$

خطوة 6.5.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 (1)})$

خطوة 6.5.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 \cdot 1})$

خطوة 6.5.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{1})$

خطوة 6.5.2.2.3.2.4

اقسِم $- 2 π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 2 π)$

خطوة 6.5.2.3

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (0)$

خطوة 6.5.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \cdot 0$

خطوة 6.5.2.5

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

خطوة 6.5.2.6

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - 6 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $6$

الفترة: $\frac{2 π}{3}$

إزاحة الطور: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - 6 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \end{array}$

خطوة 8