حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = \frac{1}{3}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = - \frac{1}{2}$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{1}{3}$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $\frac{\sin (x + \frac{π}{6})}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.1.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $- \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$2 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{6}}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $- \frac{π}{6}$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{1}{3}$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $- \frac{1}{2}$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin ((- \frac{π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أضف $- \frac{π}{6}$ و $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2.2.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.4

أضف $π \cdot 2$ و $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{2 \cdot π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.4.2

أضف $2 \cdot π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.6

لكتابة $\frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.7

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.2.2.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.8.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.2.2.8.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.2.2.8.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.2.2.8.4

اضرب $2$ في $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

خطوة 6.2.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 - 3}{6}$

خطوة 6.2.2.10

اطرح $3$ من $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{- 1}{6}$

خطوة 6.2.2.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{6}$

خطوة 6.2.2.12

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $5 π$ و $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (π)}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.2.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{4 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{4 π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

لكتابة $\frac{4 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

اضرب $\frac{4 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{8 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.1.2

أضف $8 π$ و $π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.5

لكتابة $- \frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.4.2.6

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.4.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.7.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.4.2.7.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 6.4.2.7.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.4.2.7.4

اضرب $2$ في $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

خطوة 6.4.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 3}{6}$

خطوة 6.4.2.9

اطرح $3$ من $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 5}{6}$

خطوة 6.4.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{5}{6}$

خطوة 6.4.2.11

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6}$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{11 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{11 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.1.2

أضف $11 π$ و $π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{12 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $12 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 (1)})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.1.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (2 π)}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.2.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{π}{3} & - \frac{1}{6} \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{5}{6} \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{1}{3}$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $- \frac{1}{2}$

خطوة 8