حساب المثلثات الأمثلة

$y = 2 \cos (x + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 2$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = 2$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $2$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $2 \cos (x + \frac{π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.1.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$2 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{6}}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $- \frac{π}{6}$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $2$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $2$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos ((- \frac{π}{6}) + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{- π + π}{6}) + 2$

خطوة 6.1.2.1.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{0}{6}) + 2$

خطوة 6.1.2.1.3

اقسِم $0$ على $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cos (0) + 2$

خطوة 6.1.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \cdot 1 + 2$

خطوة 6.1.2.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 + 2$

خطوة 6.1.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 4$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π \cdot 2 + π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{2 \cdot π + π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.4.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (π)}{6}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot 0 + 2$

خطوة 6.2.2.1.7

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = 0 + 2$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π + π}{6}) + 2$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $5 π$ و $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{6 π}{6}) + 2$

خطوة 6.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{6 π}{6}) + 2$

خطوة 6.3.2.1.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (π) + 2$

خطوة 6.3.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (0)) + 2$

خطوة 6.3.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

خطوة 6.3.2.1.6

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot - 1 + 2$

خطوة 6.3.2.1.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 2 + 2$

خطوة 6.3.2.2

أضف $- 2$ و $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{4 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos ((\frac{4 π}{3}) + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

لكتابة $\frac{4 π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.1

اضرب $\frac{4 π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{4 π \cdot 2 + π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.4.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{8 π + π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.4.2

أضف $8 π$ و $π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{9 π}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{6}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \cdot 0 + 2$

خطوة 6.4.2.1.8

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 0 + 2$

خطوة 6.4.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{11 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos ((\frac{11 π}{6}) + \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{11 π + π}{6}) + 2$

خطوة 6.5.2.1.2

أضف $11 π$ و $π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{12 π}{6}) + 2$

خطوة 6.5.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.1

أخرِج العامل $6$ من $12 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{6 (2 π)}{6}) + 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{6 (2 π)}{6 (1)}) + 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1}) + 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (\frac{2 π}{1}) + 2$

خطوة 6.5.2.1.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (2 π) + 2$

خطوة 6.5.2.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cos (0) + 2$

خطوة 6.5.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 \cdot 1 + 2$

خطوة 6.5.2.1.6

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 2 + 2$

خطوة 6.5.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 4$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & 4 \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ \frac{11 π}{6} & 4 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $2$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & 4 \\ \frac{π}{3} & 2 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ \frac{11 π}{6} & 4 \end{array}$

خطوة 8