حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = \frac{2}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{2}{3}$

خطوة 3

أوجِد فترة $\frac{2 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 3.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{\frac{π}{4}}{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $\frac{π}{4} \cdot 2$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{2 (2)} \cdot 2$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2$

خطوة 4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{2}{3}$

الفترة: $4 π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{\frac{π}{2}}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.1.2.1.1.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.1.2.1.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.1.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{π - π}{4})}{3}$

خطوة 6.1.2.1.3

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{0}{4})}{3}$

خطوة 6.1.2.1.4

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cos (0)}{3}$

خطوة 6.1.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 1}{3}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.1.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{3 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{3 π - π}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.3

اطرح $π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 π}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 (π)}{4})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{π}{2})}{3}$

خطوة 6.2.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{3}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{0}{3}$

خطوة 6.2.2.2.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

اضرب $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

اضرب $\frac{5 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{5 π - π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2.1.3

اطرح $π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{4 π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{4 π}{4})}{3}$

خطوة 6.3.2.1.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cos (π)}{3}$

خطوة 6.3.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

خطوة 6.3.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

خطوة 6.3.2.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 2}{3}$

خطوة 6.3.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{7 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.1.2

اضرب $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.2.1

اضرب $\frac{7 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{7 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{7 π - π}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.3

اطرح $π$ من $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{6 π}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{3 π}{2})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{π}{2})}{3}$

خطوة 6.4.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{3}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \frac{0}{3}$

خطوة 6.4.2.2.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 0$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{9 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.1.2

اضرب $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.2.1

اضرب $\frac{9 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{9 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{9 π}{4} - \frac{π}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{9 π - π}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.3

اطرح $π$ من $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{8 π}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (\frac{2 π}{1})}{3}$

خطوة 6.5.2.1.4.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (2 π)}{3}$

خطوة 6.5.2.1.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cos (0)}{3}$

خطوة 6.5.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2 \cdot 1}{3}$

خطوة 6.5.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - \frac{2}{3} \\ \frac{7 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{2} & \frac{2}{3} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{2}{3}$

الفترة: $4 π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - \frac{2}{3} \\ \frac{7 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{2} & \frac{2}{3} \end{array}$

خطوة 8