حساب المثلثات الأمثلة

$y = 1 + 3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$

خطوة 1

أعِد كتابة العبارة في صورة $3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$ .

$3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$

خطوة 2

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 3$

$b = 2$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 1$

خطوة 3

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $3$

خطوة 4

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد فترة $3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.1.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 4.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 4.1.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2

أوجِد فترة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 4.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$π$

خطوة 5

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 5.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.4

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 5.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{4}$

خطوة 6

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $3$

الفترة: $π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: $1$

خطوة 7

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.1.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.1.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.1.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π - π}{2})$

خطوة 7.1.2.1.3

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{0}{2})$

خطوة 7.1.2.1.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

خطوة 7.1.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

خطوة 7.1.2.1.6

اضرب $3$ في $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 0$

خطوة 7.1.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

خطوة 7.1.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 7.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (π - \frac{π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.3

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.5.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 7.2.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \cdot 1$

خطوة 7.2.2.1.7

اضرب $3$ في $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3$

خطوة 7.2.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 4$

خطوة 7.2.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 7.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.3.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π - π}{2})$

خطوة 7.3.2.1.3

اطرح $π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2})$

خطوة 7.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2})$

خطوة 7.3.2.1.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (π)$

خطوة 7.3.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

خطوة 7.3.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

خطوة 7.3.2.1.7

اضرب $3$ في $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 0$

خطوة 7.3.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1$

خطوة 7.3.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 7.4

أوجِد النقطة في $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = 1 + 3 \sin (2 (π) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.4.2.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

خطوة 7.4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

خطوة 7.4.2.1.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 7.4.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (π) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 7.4.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (π) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 7.4.2.1.7

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = 1 + 3 \cdot - 1$

خطوة 7.4.2.1.7.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (π) = 1 - 3$

خطوة 7.4.2.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f (π) = - 2$

خطوة 7.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 7.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 7.5.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{5 π - π}{2})$

خطوة 7.5.2.1.3

اطرح $π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{4 π}{2})$

خطوة 7.5.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

خطوة 7.5.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

خطوة 7.5.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

خطوة 7.5.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

خطوة 7.5.2.1.4.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 π)$

خطوة 7.5.2.1.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

خطوة 7.5.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

خطوة 7.5.2.1.7

اضرب $3$ في $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 0$

خطوة 7.5.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1$

خطوة 7.5.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 7.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 4 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & 1 \end{array}$

خطوة 8

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $3$

الفترة: $π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 4 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & 1 \end{array}$

خطوة 9