حساب المثلثات الأمثلة

${(1 - i)}^{5}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.3

اضرب $5$ في $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.6

اضرب $10$ في $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.9

اضرب $i^{2}$ في $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.10

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.11

اضرب $10$ في $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.12

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.13

اضرب $10$ في $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.14

طبّق قاعدة الضرب على $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.15

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.16

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.17

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.18

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.19

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.20

اضرب $i$ في $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.21

اضرب $5$ في $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.22

طبّق قاعدة الضرب على $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.23

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.24

اضرب $i^{4}$ في $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.25

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.25.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.25.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.25.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.26

اضرب $5$ في $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

خطوة 2.1.27

طبّق قاعدة الضرب على $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

خطوة 2.1.28

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

خطوة 2.1.29

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

خطوة 2.1.30

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.30.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

خطوة 2.1.30.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

خطوة 2.1.30.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

خطوة 2.1.31

اضرب $i$ في $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $10$ من $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

خطوة 2.2.2

أضف $- 9$ و $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

خطوة 2.2.3

أضف $- 5 i$ و $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

خطوة 2.2.4

اطرح $i$ من $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 4$ و $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

خطوة 6.3

أضف $16$ و $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{4}{- 4}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{4}$ و $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$