حساب المثلثات الأمثلة

${(2 - 2 i)}^{5}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.3

اضرب $5$ في $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 2$ في $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.6

اضرب $10$ في $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.8

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.9

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.10

اضرب $80 (4 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.10.2

اضرب $80$ في $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.12

اضرب $10$ في $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.13

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.14

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.15

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.16

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.17

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.18

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.19

اضرب $8$ في $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.20

اضرب $5$ في $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.21

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.22

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.23

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.23.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.23.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.23.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.24

اضرب $10 (16 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.24.1

اضرب $16$ في $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.24.2

اضرب $10$ في $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

خطوة 2.1.25

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

خطوة 2.1.26

ارفع $- 2$ إلى القوة $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

خطوة 2.1.27

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

خطوة 2.1.28

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.28.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

خطوة 2.1.28.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

خطوة 2.1.28.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

خطوة 2.1.29

اضرب $i$ في $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $320$ من $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

خطوة 2.2.2

أضف $- 288$ و $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

خطوة 2.2.3

أضف $- 160 i$ و $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

خطوة 2.2.4

اطرح $32 i$ من $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 128$ و $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $128$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $- 128$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

خطوة 6.3

أضف $16384$ و $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $32768$ بالصيغة $128^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $16384$ من $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $16384$ بالصيغة $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{128}{- 128}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{4}$ و $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$