حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (75) \cos (15)$

خطوة 1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (75)$ هي $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $75$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\cos (30 + 45) \cos (15)$

خطوة 1.2

طبّق متطابقة مجموع زاويتين $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (15)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cos (15)$

خطوة 1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cos (15)$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \cos (15)$

خطوة 1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

خطوة 1.7

بسّط $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

خطوة 1.7.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

خطوة 1.7.1.1.3

اضرب $3$ في $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

خطوة 1.7.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15)$

خطوة 1.7.1.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (15)$

خطوة 1.7.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (15)$

خطوة 1.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (15)$

خطوة 2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (15)$ هي $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم $15$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45 - 30)$

خطوة 2.2

افصِل النفي.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45 - (30))$

خطوة 2.3

طبّق متطابقة الفرق بين زاويتين $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

خطوة 2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))$

خطوة 2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))$

خطوة 2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

خطوة 2.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 2.8

بسّط $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 2.8.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 2.8.1.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 2.8.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

خطوة 2.8.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

خطوة 2.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

خطوة 3

اضرب $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

خطوة 4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

خطوة 4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $6$ في $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.9

اضرب $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.9.2

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.10

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.10.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.10.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.12

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.13

اضرب $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.13.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{16}$

خطوة 4.2.1.13.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{16}$

خطوة 4.2.1.13.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

خطوة 4.2.1.13.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.14

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.14.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

خطوة 4.2.1.14.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

خطوة 4.2.1.14.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

خطوة 4.2.1.14.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.14.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

خطوة 4.2.1.14.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{16}$

خطوة 4.2.1.14.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{16}$

خطوة 4.2.1.15

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{16}$

خطوة 4.2.2

اطرح $2$ من $6$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

خطوة 4.2.3

اطرح $2 \sqrt{3}$ من $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{16}$

خطوة 4.2.4

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{4}{16}$

خطوة 5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{16}$

خطوة 5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$