حساب المثلثات الأمثلة

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

خطوة 1

استبدِل $\cos^{2} (2 x)$ بـ $1 - \sin^{2} (2 x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) - \sin^{2} (2 x) = 0$

خطوة 2

اطرح $\sin^{2} (2 x)$ من $- \sin^{2} (2 x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (2 x) = 0$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 1 = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (2 x)$ على $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

خطوة 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 7.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 7.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 7.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

خطوة 10.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 10.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 10.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 10.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 10.3.3.2

اضرب $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

خطوة 10.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

خطوة 10.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - \frac{π}{4}$

خطوة 10.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 10.5.1.2

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 10.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 10.5.1.4

اطرح $π$ من $π \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 10.5.1.4.2

اطرح $π$ من $4 \cdot π$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

خطوة 10.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

خطوة 10.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

خطوة 10.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

خطوة 10.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 10.5.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 10.5.2.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

خطوة 10.6

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 10.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 10.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 10.6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 10.7

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

خطوة 11.3

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = - \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 11.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 11.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

خطوة 11.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 11.3.3.2

اضرب $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 11.3.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

خطوة 11.4

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

خطوة 11.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

خطوة 11.5.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{5 π}{4}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 11.5.3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{5 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

خطوة 11.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

خطوة 11.5.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

خطوة 11.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 11.5.3.3.2

اضرب $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 11.5.3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

خطوة 11.6

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 11.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 11.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 11.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 11.6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 11.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{8}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{8} + π$

خطوة 11.7.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

خطوة 11.7.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.3.1

اجمع $π$ و $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

خطوة 11.7.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

خطوة 11.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.4.1

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

خطوة 11.7.4.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

خطوة 11.7.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{7 π}{8}$

خطوة 11.8

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ ، لأي عدد صحيح $n$