حساب المثلثات الأمثلة

$\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$

خطوة 1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \log_{5} (x)$

خطوة 2

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

$\frac{x + 1}{x - 1} = x$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x - 1, 1$

خطوة 3.1.2

احذِف الأقواس.

$x - 1, 1$

خطوة 3.1.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x - 1$

خطوة 3.2

اضرب كل حد في $\frac{x + 1}{x - 1} = x$ في $x - 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب كل حد في $\frac{x + 1}{x - 1} = x$ في $x - 1$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x + 1}{x - 1} (x - 1) = x (x - 1)$

خطوة 3.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x + 1 = x (x - 1)$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1$

خطوة 3.2.3.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1$

خطوة 3.2.3.1.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x$

خطوة 3.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$x^{2} - x = x + 1$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - x - x = 1$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

خطوة 3.3.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

خطوة 3.3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.3.5

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.1.3

أضف $4$ و $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 3.3.6.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

خطوة 3.3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

خطوة 4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\log_{5} (x + 1) - \log_{5} (x - 1) = \log_{5} (x)$ صحيحة.

$x = 1 + \sqrt{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 1 + \sqrt{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 2.41421356 \dots$