حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{7 π}{12})$ هي $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $\frac{7 π}{12}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثاني.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.6

اضرب $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.1.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.3

اضرب $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.3.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{7 π}{12})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة $\frac{7 π}{12}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الثاني.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.7

اضرب $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.7.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.4.4.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.6

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.6.3

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ .

$\frac{- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

خطوة 2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $- (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ بالصيغة $- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2})}{4}$

خطوة 2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.5$