حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (\frac{11 π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{11 π}{12})$ هي $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \cos (\frac{π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.2

قسّم $\frac{π}{12}$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$- \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.3

طبّق متطابقة الفرق بين زاويتين $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8

بسّط $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8.1.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8.1.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.1.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{2 π}{3}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.2

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \cos (\frac{π}{3})) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2}) + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4

اضرب $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \frac{1}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.3

اضرب $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{11 π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{11 π}{12})$ هي $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.2

قسّم $\frac{π}{12}$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.3

طبّق متطابقة الفرق بين زاويتين.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8

بسّط $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8.1.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8.1.2

اضرب $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.1.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.5.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.8

اضرب $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

اضرب $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.8.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8}$

خطوة 1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

خطوة 1.10

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

خطوة 1.11

اضرب $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8}$

خطوة 1.11.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 1.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 1.12.2

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.2.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 1.12.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 1.12.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

خطوة 2.2

اطرح $\sqrt{6}$ من $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 2.4

أضف $\sqrt{2}$ و $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.70710678 \dots$