حساب المثلثات الأمثلة

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

خطوة 1

استبدِل $\tan^{2} (x)$ بـ $\sec^{2} (x) - 1$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

خطوة 2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

خطوة 3

عوّض بقيمة $\sec (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

خطوة 4

حلّل $u^{2} + u - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 2 = 0$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u = - 2$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 1) (u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = 1, - 2$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\sec (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل القاطع.

$x = arcsec (1)$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 11.3

دالة القاطع موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 11.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 11.5

أوجِد فترة $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 11.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 11.6

فترة دالة $\sec (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\sec (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل القاطع.

$x = arcsec (- 2)$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (- 2)$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 12.3

دالة القاطع سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 12.4

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 12.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 12.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 12.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 12.4.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\sec (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

وحّد الإجابات.

$x = \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$