حساب المثلثات الأمثلة

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

خطوة 1

حلّل $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\tan^{4} (x)$ بالصيغة ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

خطوة 1.2

لنفترض أن $u = \tan^{2} (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\tan^{2} (x)$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

خطوة 1.3

حلّل $u^{2} - 20 u + 64$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $64$ ومجموعهما $- 20$ .

$- 16, - 4$

خطوة 1.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

خطوة 1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

خطوة 1.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

خطوة 1.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \tan (x)$ و $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

خطوة 1.8

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \tan (x)$ و $b = 2$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

خطوة 1.8.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\tan (x) + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 4$

خطوة 3.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 4)$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

احسِب قيمة $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

خطوة 3.2.4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

خطوة 3.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أضف $2 π$ إلى $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 3.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $1.81577498$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

خطوة 3.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اجمع $π$ مع $- 1.32581766$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 1.32581766 + π$

خطوة 3.2.7.2

استبدِل بتقريب الكسور العشرية.

$3.14159265 - 1.32581766$

خطوة 3.2.7.3

اطرح $1.32581766$ من $3.14159265$ .

$1.81577498$

خطوة 3.2.7.4

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 1.81577498$

خطوة 3.2.8

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\tan (x) - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = 4$

خطوة 4.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (4)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

احسِب قيمة $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

خطوة 4.2.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

خطوة 4.2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

خطوة 4.2.5.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

خطوة 4.2.5.3

أضف $3.14159265$ و $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\tan (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 2$

خطوة 5.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 2)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

احسِب قيمة $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

خطوة 5.2.4

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

خطوة 5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

أضف $2 π$ إلى $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 5.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $2.03444393$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.2.7

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اجمع $π$ مع $- 1.10714871$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 1.10714871 + π$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل بتقريب الكسور العشرية.

$3.14159265 - 1.10714871$

خطوة 5.2.7.3

اطرح $1.10714871$ من $3.14159265$ .

$2.03444393$

خطوة 5.2.7.4

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 2.03444393$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\tan (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\tan (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = 2$

خطوة 6.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (2)$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

احسِب قيمة $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

خطوة 6.2.4

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

خطوة 6.2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

خطوة 6.2.5.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

خطوة 6.2.5.3

أضف $3.14159265$ و $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

خطوة 6.2.6

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 6.2.6.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 6.2.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ادمج $1.81577498 + π n$ و $1.81577498 + π n$ في $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.2

ادمج $1.32581766 + π n$ و $4.46741031 + π n$ في $1.32581766 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.3

ادمج $2.03444393 + π n$ و $2.03444393 + π n$ في $2.03444393 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.4

ادمج $1.10714871 + π n$ و $4.24874137 + π n$ في $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$