حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيسر.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

خطوة 2

اطرح الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ في $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ في $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وسّع $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.1.3

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} \cos (x) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.1.4.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.2.2

أضف $\cos (x)$ و $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 - - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.5

اضرب $- - \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + 1 \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.5.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + (- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.6

وسّع $(- 1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 - 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.2

اضرب $- 1 (- \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.2.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.3

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.4

اضرب $\cos (x) (- \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1.4.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.4.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.1.7.2

أضف $\cos (x)$ و $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} - 1 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{2 \cos (x) + {\cos (x)}^{2} + 0 + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.3

أضف $2 \cos (x)$ و $0$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.4

اطرح ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.5

أضف $2 \cos (x)$ و $2 \cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 3.6

أضف $4 \cos (x)$ و $0$ .

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

خطوة 4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

خطوة 4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

$\frac{4 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

خطوة 5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 6

أعِد كتابة $\frac{4 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ بالصيغة $4 \cot (x) \csc (x)$ .

$4 \cot (x) \csc (x)$

خطوة 7

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = 4 \cot (x) \csc (x)$ هي متطابقة