حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (2 x)$

خطوة 1

يُعد استخدام مبرهنة دي موافر $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ من الطرق الجيدة لتوسيع $\cos (2 x)$ . عندما تكون $r = 1$ ، $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن من $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ باستخدام مبرهنة ذات الحدين.

وسّع: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{2}$

خطوة 3

أعِد كتابة ${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$ بالصيغة $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ .

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$

خطوة 4

وسّع $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) (\cos (x) + i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

خطوة 5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

خطوة 5.1.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

خطوة 5.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

خطوة 5.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

خطوة 5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

خطوة 5.1.3

اضرب $i \sin (x) (i \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i \sin (x) \sin (x)$

خطوة 5.1.3.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i^{1} \sin (x) \sin (x)$

خطوة 5.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1 + 1} \sin (x) \sin (x)$

خطوة 5.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin (x) \sin (x)$

خطوة 5.1.3.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

خطوة 5.1.3.6

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

خطوة 5.1.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} {\sin (x)}^{1 + 1}$

خطوة 5.1.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin^{2} (x)$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - 1 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.1.5

أعِد كتابة $- 1 \sin^{2} (x)$ بالصيغة $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب عوامل $i \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 5.3

أضف $i \cos (x) \sin (x)$ و $i \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 6

انقُل $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

خطوة 7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$\cos (2 x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف الأقواس.

$\cos (2 x) + 2 i (\cos (x) \sin (x))$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب $2 i$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 i)$

خطوة 8.3

أضف الأقواس.

$\cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) i$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\sin (x) \cdot 2$ .

$\cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) i$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$\cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) i$

خطوة 8.6

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$

خطوة 9

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (2 x) + \sin (2 x) i$ .

$\cos (2 x) + i \sin (2 x)$

خطوة 10

استخرِج العبارات ذات الجزء التخيّلي والتي تساوي $\cos (2 x)$ . واحذف العدد التخيّلي $i$ .

$\cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - 1$