حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\csc (x) - \cot (x))}^{2}$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيمن.

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2}$

خطوة 2

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x))}^{2}$

خطوة 2.2

اكتب $\cot (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة ${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ بالصيغة $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.2

وسّع $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

اضرب $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1.1

اضرب $\frac{1}{\sin (x)}$ في $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.1.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.2

اضرب $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

اضرب $\frac{1}{\sin (x)}$ في $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.2.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.3

اضرب $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.3.1

اضرب $\frac{1}{\sin (x)}$ في $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.3.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

خطوة 2.3.3.1.4

اضرب $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.2

اضرب $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ في $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.3

اضرب $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ في $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.4

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.5

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.8

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

خطوة 2.3.3.1.4.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

خطوة 2.3.3.1.4.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

خطوة 2.3.3.1.4.11

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

خطوة 2.3.3.2

اطرح $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ من $- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2 \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

خطوة 2.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $- 2$ و $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

خطوة 2.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

خطوة 2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + \cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + \cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.3

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.3.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 \cos (x) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (x)$

خطوة 3.3.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 3.3.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 1$ و $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 4

طبّق متطابقة فيثاغورس في الاتجاه المعاكس.

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

خطوة 5.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(1 - \cos (x))}^{2}$ و $1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

خطوة 6

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\csc (x) - \cot (x))}^{2}$ هي متطابقة