حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

خطوة 1

ربّع كلا المتعادلين.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2

بسّط ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ بالصيغة $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.2

وسّع $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $\sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.3.3

أضف $\cos (x) \sin (x)$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.4

انقُل $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 2.6.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

خطوة 3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة الأُس.

$1 + \sin (2 x) = 2$

خطوة 4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\sin (2 x)$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

خطوة 4.2

اطرح $1$ من $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (1)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 9.1.4

اطرح $π$ من $π \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 9.1.4.2

اطرح $π$ من $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 10

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 10.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 10.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 11

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

تحقق من صحة كل حل من الحلول بالتعويض بها في $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ وإيجاد الحل.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$