حساب المثلثات الأمثلة

$y = \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $1$

خطوة 3

أوجِد فترة $\cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 3.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{\frac{π}{4}}{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $\frac{π}{4} \cdot 2$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{2 (2)} \cdot 2$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2$

خطوة 4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $1$

الفترة: $4 π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{\frac{π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.1.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{π - π}{4})$

خطوة 6.1.2.2.2

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (\frac{0}{4})$

خطوة 6.1.2.2.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

خطوة 6.1.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.2.2.1.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{3 π - π}{4})$

خطوة 6.2.2.2.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{4})$

خطوة 6.2.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 (π)}{4})$

خطوة 6.2.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

خطوة 6.2.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.3.2.1.2

اضرب $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

اضرب $\frac{5 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.3.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{4} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π - π}{4})$

خطوة 6.3.2.2.2

اطرح $π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 6.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

خطوة 6.3.2.2.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (π)$

خطوة 6.3.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \cos (0)$

خطوة 6.3.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

خطوة 6.3.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 1$

خطوة 6.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{7 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{7 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.1

اضرب $\frac{7 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.4.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{7 π - π}{4})$

خطوة 6.4.2.2.2

اطرح $π$ من $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{6 π}{4})$

خطوة 6.4.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

خطوة 6.4.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

خطوة 6.4.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

خطوة 6.4.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{7 π}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 0$

خطوة 6.4.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{9 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.5.2.1.2

اضرب $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.2.1

اضرب $\frac{9 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.5.2.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π}{4} - \frac{π}{4})$

خطوة 6.5.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{9 π - π}{4})$

خطوة 6.5.2.2.2

اطرح $π$ من $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{8 π}{4})$

خطوة 6.5.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

خطوة 6.5.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

خطوة 6.5.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

خطوة 6.5.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (\frac{2 π}{1})$

خطوة 6.5.2.2.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (2 π)$

خطوة 6.5.2.3

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = \cos (0)$

خطوة 6.5.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 1$

خطوة 6.5.2.5

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - 1 \\ \frac{7 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{2} & 1 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $1$

الفترة: $4 π$

إزاحة الطور: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - 1 \\ \frac{7 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{2} & 1 \end{array}$

خطوة 8