حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (\frac{π}{12})$

خطوة 1

أولاً، قسِّم الزاوية إلى زاويتين تكون فيهما قيم الدوال المثلثية الست معروفة. في هذه الحالة، يمكن تقسيم $\frac{π}{12}$ إلى $\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

خطوة 2

استخدِم قاعدة الفرق للمماس لتبسيط العبارة. تنص القاعدة على أن $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 3

احذِف الأقواس.

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

خطوة 5.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

خطوة 5.3

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

خطوة 6

اضرب $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ في $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ في $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

خطوة 7.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 8.5

ارفع $1 - \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 8.6

ارفع $1 - \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

خطوة 8.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

خطوة 8.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

خطوة 9

أعِد كتابة ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ بالصيغة $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 10

وسّع $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 11

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 11.1.2

اضرب $- \sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 11.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 11.1.4

اضرب $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.1.4.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.1.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.1.4.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

خطوة 11.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

خطوة 11.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

خطوة 11.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

خطوة 11.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

خطوة 11.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

خطوة 11.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

خطوة 11.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

خطوة 11.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

خطوة 11.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 11.3

اطرح $\sqrt{3}$ من $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

خطوة 12

احذِف العامل المشترك لـ $4 - 2 \sqrt{3}$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

خطوة 12.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

خطوة 13

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ بالصيغة $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

خطوة 14

طبّق خاصية التوزيع.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

خطوة 15

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

خطوة 16

اضرب $- 1 (- \sqrt{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

خطوة 16.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

خطوة 17

طبّق خاصية التوزيع.

$- - 2 - \sqrt{3}$

خطوة 18

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

خطوة 19

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 - \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$0.26794919 \dots$