حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.2

اضرب $2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.3

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

خطوة 1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

خطوة 1.6

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

انقُل $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 1.6.2

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} = 0$

خطوة 1.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

خطوة 2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (x) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $- 2 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.5

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 4.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استبدِل $2 \cos^{2} (x)$ بـ $2 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $2$ و $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 3 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5.2.3.2

اطرح $2 \sin^{2} (x)$ من $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 5.2.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

خطوة 5.2.5

اقسِم كل حد في $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اقسِم كل حد في $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

خطوة 5.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

خطوة 5.2.5.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (x)$ على $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

خطوة 5.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

خطوة 5.2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

خطوة 5.2.7

بسّط $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.2.7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.2.7.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.8

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.8.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 5.2.10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.10.3

$x = π - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.10.4

بسّط $π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.10.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.10.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 5.2.10.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.4.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

خطوة 5.2.10.4.3.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.10.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.11

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 5.2.11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.11.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

خطوة 5.2.11.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

خطوة 5.2.11.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{4 π}{3}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 5.2.11.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.11.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.11.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{3}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

خطوة 5.2.11.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.11.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.11.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 5.2.11.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.11.6.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

خطوة 5.2.11.6.4.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

خطوة 5.2.11.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 5.2.11.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.12

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.13

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

ادمج $\frac{π}{3} + 2 π n$ و $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.13.2

ادمج $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ و $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ في $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ادمج $2 π n$ و $π + 2 π n$ في $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7.2

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$