حساب المثلثات الأمثلة

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

خطوة 1

استخدِم المتطابقة لحل المعادلة. في هذه المتطابقة، تمثل $θ$ الزاوية الناتجة عن تعيين النقطة $(a, b)$ على الرسم البياني، ومن ثمَّ يمكن إيجادها باستخدام $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ حيث $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ و $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

خطوة 2

عيّن المعادلة لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

خطوة 3

خُذ المماس العكسي لإيجاد حل المعادلة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan^{-1} (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $R$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

خطوة 4.3

أضف $9$ و $9$ .

$R = \sqrt{18}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

خطوة 4.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$R = 3 \sqrt{2}$

خطوة 5

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ على $3 \sqrt{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ على $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $\sin (x - \frac{π}{4})$ على $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.3.2.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 6.3.2.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

خطوة 6.3.2.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

خطوة 6.3.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.3.2.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.2.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.2.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

خطوة 6.3.2.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

خطوة 6.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

خطوة 7

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

خطوة 9

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $\frac{π}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

خطوة 9.2

أضف $0.23794112$ و $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

خطوة 10

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اطرح $0.23794112$ من $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

خطوة 11.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $\frac{π}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

خطوة 11.2.2

أضف $2.90365152$ و $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

خطوة 12

أوجِد فترة $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13

فترة دالة $\sin (x - \frac{π}{4})$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$