حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \sin (x)$ و $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\sin (x) + \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) + \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.4

افصِل الكسور.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 3.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 3.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 3.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

خطوة 3.2.8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 1$

خطوة 3.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 3.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 3.2.11

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 3.2.12

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.12.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 3.2.12.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.2.13

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.13.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.14

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.14.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + π$

خطوة 3.2.14.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 3.2.14.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.14.3.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 3.2.14.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 3.2.14.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.14.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 3.2.14.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 3.2.14.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.2.15

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (x) - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) - \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 4.2.2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 4.2.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 4.2.4

افصِل الكسور.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 4.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 4.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 4.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

خطوة 4.2.8

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = 1$

خطوة 4.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 4.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.11

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.12

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.12.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.12.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 4.2.12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.12.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 4.2.12.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 4.2.13

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 4.2.13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 4.2.13.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4.2.14

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$