حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (75)$

خطوة 1

أولاً، قسِّم الزاوية إلى زاويتين تكون فيهما قيم الدوال المثلثية الست معروفة. في هذه الحالة، يمكن تقسيم $75$ إلى $30 + 45$ .

$\tan (30 + 45)$

خطوة 2

استخدِم قاعدة الجمع لدالة المماس لتبسيط العبارة. تنص القاعدة على أن $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (45)$ هي $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (45)$ هي $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

خطوة 4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

خطوة 5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

خطوة 6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

خطوة 7

اضرب $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ في $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ في $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

خطوة 8.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.5

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

خطوة 8.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

خطوة 8.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.4.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.5

احذِف العامل المشترك لـ $3 \sqrt{3} + 3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.5.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.5.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

خطوة 10.2

أضف $\sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 10.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 10.4

احذِف العامل المشترك لـ $4 + 2 \sqrt{3}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 10.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

خطوة 10.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

خطوة 10.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

خطوة 10.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 10.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

خطوة 10.4.4.4

اقسِم $2 + \sqrt{3}$ على $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 + \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$3.73205080 \dots$