حساب المثلثات الأمثلة

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

خطوة 1

حلّل $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\tan^{5} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $- 9 \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ .

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\tan^{4} (x)$ بالصيغة ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

خطوة 1.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

خطوة 1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \tan^{2} (x)$ و $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.2.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + 0$

خطوة 3.2.4

أضف $π$ و $0$ .

$x = π$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\tan^{2} (x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\tan^{2} (x) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$\tan^{2} (x) = - 3$

خطوة 4.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

خطوة 4.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

خطوة 4.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

خطوة 4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

خطوة 4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

خطوة 4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

خطوة 4.2.5

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

خطوة 4.2.6

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = i \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

خطوة 4.2.6.2

دالة المماس العكسية لـ $\arctan (i \sqrt{3})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.2.7

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

خطوة 4.2.7.2

دالة المماس العكسية لـ $\arctan (- i \sqrt{3})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.2.8

اسرِد جميع الحلول.

لا يوجد حل

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\tan^{2} (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\tan^{2} (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan^{2} (x) = 3$

خطوة 5.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

خطوة 5.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

خطوة 5.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

خطوة 5.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 5.2.4

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

خطوة 5.2.5

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 5.2.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (\sqrt{3})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.5.3

$x = π + \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.5.4

بسّط $π + \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.5.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.5.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

خطوة 5.2.5.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.4.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

خطوة 5.2.5.4.3.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 5.2.5.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.2.5.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.2.5.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.6

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

خطوة 5.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- \sqrt{3})$ هي $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.6.3

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{3} - π$

خطوة 5.2.6.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.4.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

خطوة 5.2.6.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{2 π}{3}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 5.2.6.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 5.2.6.6

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.6.1

اجمع $π$ مع $- \frac{π}{3}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{3} + π$

خطوة 5.2.6.6.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.6.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.6.3.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 5.2.6.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 5.2.6.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.6.4.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

خطوة 5.2.6.6.4.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.7

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.8

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

ادمج $\frac{π}{3} + π n$ و $\frac{4 π}{3} + π n$ في $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.8.2

ادمج $\frac{2 π}{3} + π n$ و $\frac{2 π}{3} + π n$ في $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ صحيحة.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$