حساب المثلثات الأمثلة

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $8 \sin (θ)$ إلى كلا المتعادلين.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

خطوة 1.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

خطوة 2

بسّط $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أضف $- 24 \sin (θ)$ و $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $6$ من $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

خطوة 3

استبدِل $9 \cos^{2} (θ)$ بـ $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

خطوة 4.2

اضرب $9$ في $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

خطوة 5

اطرح $16$ من $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

خطوة 6

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة $\sin (θ)$ التي تساوي $u$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 16 u$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

خطوة 8.1.3

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

خطوة 8.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 u^{2}) - (16 u)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

خطوة 8.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ ومجموعهما $b = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

أخرِج العامل $16$ من $16 u$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة $16$ في صورة $7$ زائد $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

خطوة 8.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

خطوة 8.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

خطوة 8.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

خطوة 8.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $9 u + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $9 u + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 u + 7 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $u$ في $9 u + 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$9 u = - 7$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $9 u = - 7$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 u = - 7$ على $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{7}{9}$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 11.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

خطوة 13

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

خطوة 14

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

خطوة 15

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

خطوة 15.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $360$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

خطوة 15.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اطرح $360 °$ من $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

خطوة 15.4.2

الزاوية الناتجة لـ $231.05755873 °$ موجبة وأصغر من $360 °$ ومشتركة النهاية مع $360 + 51.05755873 + 180$ .

$θ = 231.05755873 °$

خطوة 15.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 15.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 15.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 15.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 15.6

اجمع $360$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

اجمع $360$ مع $- 51.05755873$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 51.05755873 + 360$

خطوة 15.6.2

اطرح $51.05755873$ من $360$ .

$308.94244126$

خطوة 15.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 308.94244126$

خطوة 15.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- 1)$

خطوة 16.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- 90$ .

$θ = - 90$

خطوة 16.3

$θ = 360 + 90 + 180$

خطوة 16.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اطرح $360 °$ من $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

خطوة 16.4.2

الزاوية الناتجة لـ $270 °$ موجبة وأصغر من $360 °$ ومشتركة النهاية مع $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

خطوة 16.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 16.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 16.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 16.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 16.6

اجمع $360$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

اجمع $360$ مع $- 90$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 90 + 360$

خطوة 16.6.2

اطرح $90$ من $360$ .

$270$

خطوة 16.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 270$

خطوة 16.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 17

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 18

ادمج $270 + 360 n$ و $270 + 360 n$ في $270 + 360 n$ .

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$