حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (θ) - 1 = 0$

خطوة 1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\sin^{2} (θ) = 1$

خطوة 2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{1}$

خطوة 3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (θ) = \pm 1$

خطوة 4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (θ) = 1$

خطوة 4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (θ) = - 1$

خطوة 4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (θ) = 1, - 1$

خطوة 5

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sin (θ) = 1$

$\sin (θ) = - 1$

خطوة 6

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (1)$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 6.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - \frac{π}{2}$

خطوة 6.4

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 6.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 6.4.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 6.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- 1)$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

خطوة 7.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 7.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 7.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 7.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 7.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 7.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 7.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 7.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 7.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 7.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 7.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$