حساب المثلثات الأمثلة

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 = 7$

خطوة 1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 - 7 = 0$

خطوة 2

اطرح $7$ من $10$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ ومجموعهما $b = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $10$ من $10 \tan (θ)$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $10$ في صورة $4$ زائد $6$

$8 \tan^{2} (θ) + (4 + 6) \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$4 \tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) + 3 (2 \tan (θ) + 1) = 0$

خطوة 3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 \tan (θ) + 1$ .

$(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 \tan (θ) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 \tan (θ) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $2 \tan (θ) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \tan (θ) = - 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 \tan (θ) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \tan (θ) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\tan (θ)$ على $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

احسِب قيمة $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$θ = - 26.56505117$

خطوة 5.2.5

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = - 26.56505117 - 180$

خطوة 5.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

أضف $360 °$ إلى $- 26.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 26.56505117 - 180 ° + 360 °$

خطوة 5.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $153.43494882 °$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 26.56505117 - 180$ .

$θ = 153.43494882 °$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 5.2.8

اجمع $180$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

اجمع $180$ مع $- 26.56505117$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 26.56505117 + 180$

خطوة 5.2.8.2

اطرح $26.56505117$ من $180$ .

$153.43494882$

خطوة 5.2.8.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 153.43494882$

خطوة 5.2.9

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $4 \tan (θ) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $4 \tan (θ) + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $θ$ في $4 \tan (θ) + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$4 \tan (θ) = - 3$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $4 \tan (θ) = - 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 \tan (θ) = - 3$ على $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $\tan (θ)$ على $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 3}{4}$

خطوة 6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (θ) = - \frac{3}{4}$

خطوة 6.2.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (- \frac{3}{4})$

خطوة 6.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

احسِب قيمة $\arctan (- \frac{3}{4})$ .

$θ = - 36.86989764$

خطوة 6.2.5

$θ = - 36.86989764 - 180$

خطوة 6.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

أضف $360 °$ إلى $- 36.86989764 - 180 °$ .

$θ = - 36.86989764 - 180 ° + 360 °$

خطوة 6.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $143.13010235 °$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 36.86989764 - 180$ .

$θ = 143.13010235 °$

خطوة 6.2.7

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 6.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 6.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 6.2.7.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 6.2.8

اجمع $180$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

اجمع $180$ مع $- 36.86989764$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 36.86989764 + 180$

خطوة 6.2.8.2

اطرح $36.86989764$ من $180$ .

$143.13010235$

خطوة 6.2.8.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 143.13010235$

خطوة 6.2.9

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 143.13010235 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$ صحيحة.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$