حساب المثلثات الأمثلة

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

خطوة 1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\csc (θ) = \frac{وتر}{مقابل}$

خطوة 2

أوجِد الضلع المجاور لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الوتر والضلع المقابل معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المجاور = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مقابل}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المجاور = - \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الضلع المجاور $= - \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الضلع المجاور $= - \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

الضلع المجاور $= - \sqrt{2 - {(1)}^{2}}$

خطوة 4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

الضلع المجاور $= - \sqrt{2 - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{2 - 1}$

خطوة 4.5

اطرح $1$ من $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{1}$

خطوة 4.6

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

الضلع المجاور $= - 1 \cdot 1$

خطوة 4.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

الضلع المجاور $= - 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 5.3

بسّط قيمة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 5.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 5.3.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 5.3.2.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 5.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 5.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.3

بسّط قيمة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 6.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.3.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 1}$

خطوة 7.3

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\tan (θ) = - 1$

خطوة 8

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{1}$

خطوة 8.3

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\cot (θ) = - 1$

خطوة 9

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{2}$

خطوة 9.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{2}$ بالصيغة $- \sqrt{2}$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

خطوة 10

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (θ) = - 1$

$\cot (θ) = - 1$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

$\csc (θ) = \sqrt{2}$