حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\cos (2 θ)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

خطوة 2

أضف $u$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u^{2} + u = 1$

خطوة 3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

خطوة 4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب في $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

خطوة 4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 7.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

خطوة 11

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $60$ .

$2 θ = 60$

خطوة 11.3

اقسِم كل حد في $2 θ = 60$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اقسِم كل حد في $2 θ = 60$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

خطوة 11.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

خطوة 11.3.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

خطوة 11.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

اقسِم $60$ على $2$ .

$θ = 30$

خطوة 11.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 θ = 360 - 60$

خطوة 11.5

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اطرح $60$ من $360$ .

$2 θ = 300$

خطوة 11.5.2

اقسِم كل حد في $2 θ = 300$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 θ = 300$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

خطوة 11.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

خطوة 11.5.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

خطوة 11.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.3.1

اقسِم $300$ على $2$ .

$θ = 150$

خطوة 11.6

أوجِد فترة $\cos (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 11.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 2 |}$

خطوة 11.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{360}{2}$

خطوة 11.6.4

اقسِم $360$ على $2$ .

$180$

خطوة 11.7

فترة دالة $\cos (2 θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (2 θ) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$2 θ = \arccos (- 1)$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $180$ .

$2 θ = 180$

خطوة 12.3

اقسِم كل حد في $2 θ = 180$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اقسِم كل حد في $2 θ = 180$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

خطوة 12.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

خطوة 12.3.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

خطوة 12.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

اقسِم $180$ على $2$ .

$θ = 90$

خطوة 12.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$2 θ = 360 - 180$

خطوة 12.5

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اطرح $180$ من $360$ .

$2 θ = 180$

خطوة 12.5.2

اقسِم كل حد في $2 θ = 180$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 θ = 180$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

خطوة 12.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

خطوة 12.5.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

خطوة 12.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.3.1

اقسِم $180$ على $2$ .

$θ = 90$

خطوة 12.6

أوجِد فترة $\cos (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 12.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 2 |}$

خطوة 12.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{360}{2}$

خطوة 12.6.4

اقسِم $360$ على $2$ .

$180$

خطوة 12.7

فترة دالة $\cos (2 θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 90 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

وحّد الإجابات.

$θ = 30 + 60 n$ ، لأي عدد صحيح $n$