حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

خطوة 1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $3$ من $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

خطوة 2

اضرب بسط وقاسم $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ في مرافق $0.8660254 + 0.5 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

خطوة 3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.1.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.5

وسّع $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1.1

اضرب $0.8660254$ في $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.2

اضرب $- 0.5 i$ في $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.3

اضرب $0.8660254$ في $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.4

انقُل $1.5$ إلى يسار $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.5

اضرب $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1.5.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.5.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.5.5

اضرب $- 0.5$ في $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.1.7

اضرب $- 0.8660254$ في $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.2

أضف $0.8660254$ و $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.2.6.3

أضف $- 0.5 i$ و $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $0.8660254$ في $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 0.5$ في $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $0.8660254$ في $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $- 0.5$ في $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

خطوة 3.3.2.5

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

خطوة 3.3.2.6

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

خطوة 3.3.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

خطوة 3.3.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

خطوة 3.3.2.9

أضف $- 0.4330127 i$ و $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $0$ في $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

خطوة 3.3.3.3

اضرب $- 0.25$ في $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

خطوة 3.3.4

أضف $0.75$ و $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

خطوة 3.3.5

أضف $0.75$ و $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

خطوة 4

أعِد كتابة $1.7320508$ بالصيغة $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

خطوة 5

أخرِج العامل $1$ من $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

خطوة 6

أخرِج العامل $1$ من $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

خطوة 7

أخرِج العامل $1$ من $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

خطوة 8

افصِل الكسور.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اقسِم $1$ على $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

خطوة 9.2

اقسِم $1.7320508 + 1 i$ على $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

خطوة 10

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

خطوة 11

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $1$ في $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

خطوة 11.2

اضرب $1$ في $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

خطوة 12

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 13

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 14

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 1.7320508$ و $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

خطوة 15

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

خطوة 15.2

ارفع $1.7320508$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

خطوة 15.3

أضف $1$ و $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

خطوة 15.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

خطوة 15.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 2$

خطوة 16

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

خطوة 17

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{1}{1.7320508}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

خطوة 18

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{6}$ و $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$