حساب المثلثات الأمثلة

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 = - 8 \tan (θ) + 6$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $8 \tan (θ)$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) = 6$

خطوة 1.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) - 6 = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أضف $- 5 \tan (θ)$ و $8 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 4 + 3 \tan (θ) - 6 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $6$ من $4$ .

$2 \tan^{2} (θ) - 2 + 3 \tan (θ) = 0$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

خطوة 3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ ومجموعهما $b = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $3$ في صورة $- 1$ زائد $4$

$2 \tan^{2} (θ) + (- 1 + 4) \tan (θ) - 2 = 0$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\tan (θ) (2 \tan (θ) - 1) + 2 (2 \tan (θ) - 1) = 0$

خطوة 3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 \tan (θ) - 1$ .

$(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

$\tan (θ) + 2 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 \tan (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 \tan (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $2 \tan (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \tan (θ) = 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 \tan (θ) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \tan (θ) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\tan (θ)$ على $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

احسِب قيمة $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

خطوة 5.2.5

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 180 + 26.56505117$

خطوة 5.2.6

أضف $180$ و $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\tan (θ) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\tan (θ) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\tan (θ) = - 2$

خطوة 6.2.2

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (- 2)$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

احسِب قيمة $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

خطوة 6.2.4

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = - 63.43494882 - 180$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

أضف $360 °$ إلى $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

خطوة 6.2.5.2

الزاوية الناتجة لـ $116.56505117 °$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

خطوة 6.2.6

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 6.2.6.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 6.2.7

اجمع $180$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

اجمع $180$ مع $- 63.43494882$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 63.43494882 + 180$

خطوة 6.2.7.2

اطرح $63.43494882$ من $180$ .

$116.56505117$

خطوة 6.2.7.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 116.56505117$

خطوة 6.2.8

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$ صحيحة.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

$θ = 26.56505117 + 90 n$ ، لأي عدد صحيح $n$