حساب المثلثات الأمثلة

$- \frac{1}{1 + i}$

خطوة 1

اضرب بسط وقاسم $\frac{1}{1 + 1 i}$ في مرافق $1 + 1 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

خطوة 2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

خطوة 2.2

اضرب $1 - i$ في $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

خطوة 2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وسّع $(1 + 1 i) (1 - i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

خطوة 2.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $1$ في $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

خطوة 2.3.2.3

اضرب $1$ في $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

خطوة 2.3.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

خطوة 2.3.2.5

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

خطوة 2.3.2.6

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

خطوة 2.3.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

خطوة 2.3.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

خطوة 2.3.2.9

أضف $- 1 i$ و $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

خطوة 2.3.2.10

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

خطوة 2.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

خطوة 2.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

خطوة 3

قسّم الكسر $\frac{1 - i}{2}$ إلى كسرين.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

خطوة 4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

خطوة 5

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

خطوة 6

اضرب $- - \frac{i}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{i}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

خطوة 7

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 8

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 9

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - \frac{1}{2}$ و $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 10.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 10.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 10.4

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 10.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 10.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 10.5.2

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 10.5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 10.5.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

خطوة 10.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

خطوة 10.5.6

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

خطوة 10.6

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 10.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 10.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 10.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 10.8

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 10.9

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 10.10

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 10.10.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 10.10.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 10.10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 10.10.5

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 10.10.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 10.10.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 10.10.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.10.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.10.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.10.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 11

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

خطوة 12

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 13

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{4}$ و $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$