حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{8}}{3}$

خطوة 1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\cos (θ) = \frac{مجاور}{وتر}$

خطوة 2

أوجِد الضلع المقابل لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلع المجاور والوتر معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المقابل = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مجاور}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المقابل = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- \sqrt{8})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(3)}^{2} - {(- \sqrt{8})}^{2}}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- \sqrt{8})}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(- \sqrt{8})}^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(- \sqrt{4 (2)})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(- \sqrt{2^{2} \cdot 2})}^{2}}$

خطوة 4.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(- (2 \sqrt{2}))}^{2}}$

خطوة 4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.6

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{2}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

خطوة 4.7

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 4.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

خطوة 4.8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 4.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 4.8.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2)}$

خطوة 4.8.5

احسِب قيمة الأُس.

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2)}$

خطوة 4.9

اضرب $- (4 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اضرب $4$ في $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 8}$

خطوة 4.9.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - 8}$

خطوة 4.10

اطرح $8$ من $9$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{1}$

خطوة 4.11

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

الضلع المقابل $= - 1 \cdot 1$

خطوة 4.12

اضرب $- 1$ في $1$ .

الضلع المقابل $= - 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{3}$

خطوة 5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{1}{3}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

خطوة 6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 7

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- \sqrt{8}}$

خطوة 7.3

بسّط قيمة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{8}}$

خطوة 7.3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{4 (2)}}$

خطوة 7.3.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 7.3.3

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.3.4.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 7.3.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 7.3.4.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 7.3.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.3.4.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.4.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.4.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

خطوة 8

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{8}}{- 1}$

خطوة 8.3

بسّط قيمة $\cot (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{8}}{1}$

خطوة 8.3.2

اقسِم $\sqrt{8}$ على $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{8}$

خطوة 8.3.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\cot (θ) = \sqrt{4 (2)}$

خطوة 8.3.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cot (θ) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 8.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\cot (θ) = 2 \sqrt{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{8}}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{4 (2)}}$

خطوة 9.3.1.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\sec (θ) = \frac{3}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.3

اضرب $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 9.3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

اضرب $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.4.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.4.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 9.3.4.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.4.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.4.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.4.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.4.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.4.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 1}$

خطوة 10.3

اقسِم $3$ على $- 1$ .

$\csc (θ) = - 3$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = - \frac{1}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

$\csc (θ) = - 3$