حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ و $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

خطوة 4.3

اضرب في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

خطوة 4.4

افصِل الكسور.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

خطوة 4.5

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ إلى $\csc^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اقسِم ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ على $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.6.2

أعِد كتابة ${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ بالصيغة $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.7

وسّع $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.1.2

اضرب $\cos (2 y)$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.1.3

اضرب $\cos (2 y)$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.1.4

اضرب $\cos (2 y) \cos (2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.4.1

ارفع $\cos (2 y)$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.1.4.2

ارفع $\cos (2 y)$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.8.2

أضف $\cos (2 y)$ و $\cos (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.9

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اضرب $\csc^{2} (2 y)$ في $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

خطوة 4.10.2

أعِد كتابة $\csc (2 y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

خطوة 4.10.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

خطوة 4.10.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

خطوة 4.10.5

اجمع $\cos^{2} (2 y)$ و $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

خطوة 4.11

حوّل من $\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ إلى $\cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

خطوة 4.12

أضف $0$ و $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

خطوة 4.13

أعِد كتابة $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أعِد كتابة الحد الأوسط.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

خطوة 4.13.2

أعِد ترتيب الحدود.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.3

حلّل الحدود الثلاثة الأولى إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

خطوة 4.13.4

أعِد كتابة ${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ بالصيغة $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ .

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

خطوة 4.13.5

وسّع $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

خطوة 4.13.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

خطوة 4.13.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.6.1.1

اضرب $\csc (2 y) \csc (2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.6.1.1.1

ارفع $\csc (2 y)$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.1.1.2

ارفع $\csc (2 y)$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.1.2

اضرب $\cot (2 y) \cot (2 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.6.1.2.1

ارفع $\cot (2 y)$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.1.2.2

ارفع $\cot (2 y)$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

خطوة 4.13.6.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.2

أعِد ترتيب عوامل $\csc (2 y) \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.6.3

أضف $\cot (2 y) \csc (2 y)$ و $\cot (2 y) \csc (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

خطوة 4.13.7

أضف $\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ و $0$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

خطوة 4.13.8

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.8.1

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

خطوة 4.13.8.2

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

خطوة 4.13.8.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = \csc (2 y)$ و $b = \cot (2 y)$ .

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

خطوة 4.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

خطوة 6

عوّض بقيمتَي $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ و $| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ .

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$