حساب المثلثات الأمثلة

$- 2 \cos^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 1

استبدِل $- 2 \cos^{2} (θ)$ بـ $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 3

أضف $- 2$ و $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\sin (θ)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب في $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

خطوة 5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 8.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

خطوة 12

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $30$ .

$θ = 30$

خطوة 12.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = 180 - 30$

خطوة 12.4

اطرح $30$ من $180$ .

$θ = 150$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 12.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- 1)$

خطوة 13.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- 90$ .

$θ = - 90$

خطوة 13.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $360$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 360 + 90 + 180$

خطوة 13.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اطرح $360 °$ من $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

خطوة 13.4.2

الزاوية الناتجة لـ $270 °$ موجبة وأصغر من $360 °$ ومشتركة النهاية مع $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

خطوة 13.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 13.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 13.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 13.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 13.6

اجمع $360$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اجمع $360$ مع $- 90$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 90 + 360$

خطوة 13.6.2

اطرح $90$ من $360$ .

$270$

خطوة 13.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 270$

خطوة 13.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

وحّد الإجابات.

$θ = 30 + 120 n$ ، لأي عدد صحيح $n$