حساب المثلثات الأمثلة

$\csc^{2} (θ) - 9 \csc (θ) + 20 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \csc (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\csc (θ)$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

خطوة 1.2

حلّل $u^{2} - 9 u + 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $20$ ومجموعهما $- 9$ .

$- 5, - 4$

خطوة 1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

$\csc (θ) - 4 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\csc (θ) - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\csc (θ) - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\csc (θ) - 5 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\csc (θ) - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$\csc (θ) = 5$

خطوة 3.2.2

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل قاطع التمام.

$θ = arccsc (5)$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

احسِب قيمة $arccsc (5)$ .

$θ = 11.53695903$

خطوة 3.2.4

دالة قاطع التمام موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = 180 - 11.53695903$

خطوة 3.2.5

اطرح $11.53695903$ من $180$ .

$θ = 168.46304096$

خطوة 3.2.6

أوجِد فترة $\csc (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 3.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 3.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 3.2.6.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 3.2.7

فترة دالة $\csc (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\csc (θ) - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\csc (θ) - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\csc (θ) - 4 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\csc (θ) - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$\csc (θ) = 4$

خطوة 4.2.2

خُذ دالة قاطع التمام العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل قاطع التمام.

$θ = arccsc (4)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

احسِب قيمة $arccsc (4)$ .

$θ = 14.47751218$

خطوة 4.2.4

$θ = 180 - 14.47751218$

خطوة 4.2.5

اطرح $14.47751218$ من $180$ .

$θ = 165.52248781$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة $\csc (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 4.2.7

فترة دالة $\csc (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\csc (θ) - 5) (\csc (θ) - 4) = 0$ صحيحة.

$θ = 11.53695903 + 360 n, 168.46304096 + 360 n, 14.47751218 + 360 n, 165.52248781 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$