حساب المثلثات الأمثلة

$\sec (θ) = - 3$ , $\tan (θ) > 0$

خطوة 1

The tangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

الحل في الربع الثالث.

خطوة 2

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\sec (θ) = \frac{وتر}{مجاور}$

خطوة 3

أوجِد الضلع المقابل لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلع المجاور والوتر معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المقابل = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مجاور}^{2}}$

خطوة 4

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المقابل = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

خطوة 5.3.2

أضف $1$ و $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 + {(- 1)}^{3}}$

خطوة 5.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - 1}$

خطوة 5.5

اطرح $1$ من $9$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{8}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{4 (2)}$

خطوة 5.6.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

الضلع المقابل $= - (2 \sqrt{2})$

خطوة 5.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

الضلع المقابل $= - 2 \sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 7

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{3}$

خطوة 7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

خطوة 8

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$

خطوة 8.3

بسّط قيمة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$

خطوة 8.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (- 2 \sqrt{2})$ بالصيغة $- (- 2 \sqrt{2})$ .

$\tan (θ) = - (- 2 \sqrt{2})$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\cot (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.3.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.3.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 9.3.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.3.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

خطوة 10.3

بسّط قيمة $\csc (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 10.3.2

اضرب $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 10.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1

اضرب $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 10.3.3.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 10.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 10.3.3.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 10.3.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 10.3.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 10.3.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 10.3.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 10.3.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.3.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.3.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 10.3.3.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 10.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

$\tan (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sec (θ) = - 3$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$