حساب المثلثات الأمثلة

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيمن.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 2

طبّق متطابقة فيثاغورس في الاتجاه المعاكس.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

خطوة 3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

خطوة 4

طبّق متطابقة فيثاغورس في الاتجاه المعاكس.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

خطوة 5

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

وسّع $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب $- \sin (x)$ في $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.1.4

اضرب $\sin (x) (- \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.4.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.1.4.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.2

أضف $- \sin (x)$ و $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

خطوة 6.2

اطرح $1$ من $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

خطوة 6.3

أضف $- {\sin (x)}^{2}$ و $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 7

اكتب $- \sin^{2} (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لكتابة $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ في $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 10

انتقِل الآن إلى المتعادل الأيسر.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 11

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

خطوة 11.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

خطوة 12

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

خطوة 13

اكتب $- \sin^{2} (x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

لكتابة $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 14.2

اضرب $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ في $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 14.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 15

بسّط بَسْط الكسر.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 16

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ هي متطابقة